Это загадочное число относиться к натуральным числам, числам Капрекара, числам харшад и является циклическим. В чём же заключаеться загадочность числа?

          Цикличность числа 142857

  Данное число является периодом разложения обыкновенной дроби 1/7 в десятичную.

Умножение на 1, 2, 3, 4, 5, 6                               Деление 1, 2, 3, 4, 5, 6 на 7

1 142857 = 142857                                               1/7= 0.14285714285…

2 142857 = 285714                                               2/7=0.28571428571…

3 142857 = 428571                                               3/7=0.42857142857…

4 142857 = 571428                                               4/7=0.57142857142…

5 142857 = 714285                                               5/7 = 0.71428571428…

6 142857 = 857142                                               6/7 = 0.85714285714…

   Из операций умножения числа 142857 на 1, 2, 3, 4, 5, 6 и деления первых множителей на число 7 наблюдается цикличность( цифры 1, 4, 2, 8, 5, 7 меняют свой порядок) и полное совпадение произведения с каждой группой из шести цифр после запятой, то есть произведения являются периодами данных дробей( 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7).

        Числа харшад (Харсхада)

     Число харшад — это натуральное число, делящееся нацело на сумму своих цифр. В пример приведу наше загадочное число:

 (1+4+2+8+5+7)=27

 142857/27=5291

       Числа Капрекара

   Загадочное число 142857 относят к числам Капрекара:

 142857 142857=20408122449

  После прибавления последних шести цифр к первым пяти (122449 + 20408) получается 142857

  Расположим цифры сначала в порядке возрастания, затем в порядке убывания. Вычтем из большего меньшее. Затем сделаем такое с разностью и т.д.

875421-124578=750843

875430-34578=840852

885420-24588=860832

886320-23688=862632

866322-223668=642654

665442-244566=420876

876420-24678=851742

875421-124578=750843

  Отсюда видно что каждая 7-ая итерация повторяется. Но как? Мы же преставляли цифры в числе?. Еще одна загадка числа 142857. А вот что будет если сложить преобразованные числа

875421+124578=999999

  Если разделить сумму на 7, то получим…142857. А что Вы ожидали?!

    Еще о цикличности

 Продолжим умножение :

7 142857 = 999999

8 142857 = 1142856  ( Если прибавить первую цифру к последней, то будет…Ура! 142857)

9 142857 =  1285713 (Если прибавить первую цифру к последней, то будет 285714)

……………………………………………………………………………………………………

14 142857= 1999998(Та же самая операция и будет 999999)

……………………………………………………………………………………………..

99 142857= 14142843 (Если прибавить первые две цифры к последним двум, то опять 25…То есть 142857)

……………………………………………………………………………………………………

       Закономерность такова: число, состоящие из цифр с порядком больше 6( в числе 1142856 первая 1 имеет 7 порядок) прибавляется к оставшемуся числу, что и будет одним из периодов дробей 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 либо число 999999. А каждый множитель, делимый нацело на 7, с такой же закономерностью поможет получить число 999999. Если еще обобщить:  какое б ни было большое произведение, при слаживании групп по 6 цифр мы прийдем к какому-то из вышеперечисленных периодов либо к числу 999999.

       И на последок…

    Поиграйте с друзьями в математический фокус:  задумайте любое трехзначное число, например, 451. Переверните его — получится 154. Отнимите меньшее от большего — получится 297. Переверните его — получится 792. Сложите два последних числа: 297+792=1089. Разделите результат на 11. Ответ всегда будет один — 99.